Assegnato il primo Premio del Millennio

Il primo articolo era uscito da poco meno di quattro anni (The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications) quando ne sentii parlare per la prima volta. Ero a Praga per il congresso Integrable Systems, edizione 2007. Dopo la conclusione del congresso sono andato in giro per la città insieme con Orlando Ragnisco e Piergiulio Tempesta, matematico di gran valore al momento a Madrid presso la Universidad Complutense. In attesa di entrare in uno dei tanti musei presenti nella città (non chiedetemi in quale, non lo ricordo!), in quel periodo aperti e visitabili gratuitamente, ecco che, tra un commento sul congresso e qualche curiosità matematica, spuntare una piccola storia sulla congettura di Poincaré: un matematico russo era riuscito a dimostrarla con una serie di articoli caricati su arXiv, rifiutandosi, però, di pubblicarli su rivista scientifica. Considerando le regole (pubblicazione su rivista scientifica), tutti credevano che il premio del millennio, istituito dal Clay Mathematics Institute, legato alla congettura non sarebbe stato assegnato. Invece, come segnala Roberto Zanasi, lo zar della matematica, il premio alla fine è stato assegnato, proprio a quel matematico, Grigori Perelman.

Si dubita, però, che Perelman possa accettare il premio e i soldi (un milione di dollari) visto il precedente del 2006, quando il buon matematico decise di rifiutare la Fields Medal, in quanto l'unico premio ad interessargli era il riconoscimento del suo lavoro.
Torniamo, però, alla congettura: una sua descrizione, con tanto di associazione alla Divina Commedia di Dante Alighieri viene proposta proprio dallo zar nell'articolo La 3-sfera, un delizioso dialogo che nell'ultima parte è alternato dai versi della Commedia e dai suoi rapporti con la matematica. La congettura, in soldoni, coninvolge uno spazio in 4 dimensioni e una sfera immersa in questo spazio, ma non una sfera usuale, ma il suo corrispondente quadri-dimensionale, la così detta 3-sfera.

Ogni 3-varietà chiusa e semplicemente connessa è omeomorfa a una 3-sfera.

Come già per il teorema di Noether, anche in questo caso cerchiamo di gettare un po' di luce sui concetti utilizzati nell'enunciato.
Iniziamo con la varietà. Questo oggetto matematico venne introdotto da Bernhard Riemann nel 1851 nella sua tesi di dottorato: egli aveva necessità di introdurre grandezze particolari, aventi più dimensioni, interessandosi così delle geometrie non euclidee. Le varietà, in effetti, sono degli oggetti particolari, dei veri e propri spazi su cui la geometria euclidea è valida solo su piccole porzioni, ma perde di validità man mano che si osserva una porzione maggiore della varietà. Una varietà tridimensionale è ad esempio la sfera: un triangolo tracciato su una sfera, infatti, presenta una somma di angoli interni pari a 230°, mentre nel piano la somma è l'usuale 180°. Quindi mentre la superficie della sfera nel suo complesso è governata da una geometria non euclidea, una sua piccola porzione è invece in tutto e per tutto uno spazio euclideo: più semplicemente si potrebbe quindi dire che una varietà è uno spazio le cui proprietà geometriche variano in base alla scala con lui lo si sta guardando.

Ritratti: Geoffrey Taylor

Dopo aver acquistato la sua solita copia di Life, la sua attenzione venne colpita da una foto particolare, pubblicata su quella rivista. Dai dati in essa contenuta, Geoffrey Ingram Taylor riuscì a stimare la potenza dell'esplosione nucleare utilizzata in uno dei trinity test statunitensi in Nuovo Messico, un dato che il governo statunitense non aveva diffuso.
Taylor, fisico e matematico britannico, esperto in meccanica dei fluidi, nasce il 7 marzo del 1886 a Londra. In un certo senso la cultura era di famiglia: il padre era un artista, mentre la madre, Margaret Boole, era nipote di George Boole (da lui discende la logica booleana, le cui basi vengono insegnate sin dalle scuole superiori), mentre aveva per zia Alicia Stott, nota per i suoi lavori sui politopi in particolare in 4 dimensioni. All'età di 11 anni, poi, rimase molto colpito dalla lettura di The principles of the electric telegraph, una serie di dispense indirizzate ai bambini.
Ambiente stimolante, dunque, tanto che ebbe modo anche di conoscere William Thomson, meglio noto come Lord Kelvin. Il suo sbocco accademico fu il prestigioso Trinity College, dove studiò matematica e fisica. Risale a quel periodo la vittoria dello Smith's Prize grazie ad un lavoro sulle onde di shock che ne estendeva uno precedente di Thomson.
Nel 1910, sembre al Trinity di Cambridge, ottene un fellowship, iniziando l'anno dopo il suo lavoro di ricerca in meteorologia: le sue ricerche sulle turbolenze atmosferiche sforicarono nell'articolo Turbulent motion in fluids, che vinse l'Adams Prize nel 1915.

Il teorema di Noether

Il teorema di Noether, scoperto dalla matematica tedesca Emmy Noether, è uno dei teoremi più sofisticati della fisica, un modo per vedere come la teoria dei gruppi, una branca della matematica da molti ritenuta astratta, può fornire le basi per un importante concetto fisico. Le premesse della teoria dei gruppi, accoppiate con il calcolo delle variazioni, portano alle conclusioni del teorema, ovvero all'esistenza, sotto certe condizioni, di grandezze conservate all'interno dei sistemi fisici.
Tutto parte da uno dei concetti più importanti per la fisica, la simmetria, che è anche oggetto di studi della teoria dei gruppi. Per rendersi conto, quindi, di questo stretto legame, basta avere in mente l'enunciato del teorema:

Se un sistema fisico esibisce una qualche simmetria continua⁽¹⁾, allora ci sono delle corrispondenti osservabili i cui valori sono costanti nel tempo.

Una formulazione più sofisticata del teorema, invece, recita più o meno cosi:

Per ogni simmetria differenziabile generata da azioni locali, corrisponde una corrente conservata

Questa enunciazione, decisamente più tecnica, lega il teorema e le simmetrie con una serie di gruppi estremamente importanti per la fisica, i gruppi di Lie. Nell'abstract dell'articolo della Noether, Invariante Variationsprobleme⁽²⁾, infatti, si può leggere:

I problemi di variazione qui trattati, sono tali da ammettere un gruppo continuo (nel senso di Lie); le conclusioni che emergono per le corrispondenti equazioni differenziali trovano la loro più generale espressione nei teoremi formulati nella Sezione I e dimostrati nelle sezioni seguenti.

Prima di addentrarci nei calcoli, però, vediamo di definire meglio alcuni dettagli citati in precedenza.